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A. L'espace et le temps
B. Le temps et le mouvement.
C. Le temps et sa mesure.
D. La flèche du temps.
E. L'origine du temps et les paradoxes de Zénon.
1.
2. Le paradoxe et la valeur d'une théorie scientifique
3. Sur la signification des paradoxes de Zénon.
Pour ce qui est des paradoxes de Zénon, il convient de remarquer que ce ne sont de véritables paradoxes que du point de vue de la théorie, qui était la sienne, qu'il existait pour le temps comme pour l'espace des "indivisibles". Les quatre situations imaginées par Zénon prouvent qu'il n'est pas possible de prétendre qu'il existe des indivisibles de temps. Mais dès le moment où l'on a une conception continue du temps, ces paradoxes n'en sont plus; ce sont tout juste des tours de passe-passe qui ne sont pas de vrais problèmes, mais des façons habiles d'égarer le sens commun, comme on peut en construire beaucoup dans tous les domaines.
Ce qui a fortement troublé les penseurs grecs, c'est avant tout l'échec de la pensée qui se révélait ainsi; la découverte qu'une théorie, qui semble par ailleurs efficace, puisse être sur un certain point en contradiction avec la réalité. Il s'agit donc en premier lieu d'une crise de la pensée grecque qui affirmait une adéquation totale et véritable entre le réel et la pensée logique du réel était possible, et qui pensait que le discours sur la nature devait avant tout être "vrai". Ce qui était pour eux un paradoxe irréductible est seulement pour nous le signe que sur ce point la théorie utilisée est insuffisante, ou simplement fausse dans l'une de ses affirmations.
Une confiance totale dans le raisonnement théorique fait dire: "la flèche ne devrait jamais atteindre son but", comme si la loi pensée par l'homme pouvait avoir quelque puissance coercitive sur la réalité. Maintenant, nous dirions simplement: la flèche atteint sa cible, or notre raisonnement nous conduirait à supposer le contraire, donc notre raisonnement est faux, ou bien notre théorie de base a quelque insuffisance.
Effectivement, la théorie éléate avait une insuffisance: elle croyait à l'existence "d'indivisibles", c'est à dire d'intervalles minimums de temps et d'espaces. Il est clair qu'une telle théorie conduit à penser des choses facilement démenties par l'expérience concrète, et le "paradoxe" sur les mouvements relatifs de Zénon montre avec évidence (pour qui est prêt tout au moins à rejeter la théorie des indivisibles) que la théorie des indivisibles est inadaptée à décrire validement le réel (pour ne pas dire fausse).
Eliminons de notre pensée la théorie des indivisibles et reprenons le paradoxe de la flèche. Comme nous l'avons déjà vu, le paradoxe vient de ce que l'on considère non pas simplement la distance qu'il reste à parcourir, mais à chaque fois la moitié de ce qu'il reste encore. Nous avons vu aussi que cela revient à faire une division logarithmique de la distance qui sépare la flèche de la cible de telle sorte que les intervalles soient de plus en plus petits et de plus en plus nombreux au fur et à mesure que l'on se rapproche de la cible.
A partir de là, deux approches sont possibles. La première consiste à continuer dans ce formalisme mathématique et à le pousser jusqu'au bout pour voir si oui ou non il nous induit en erreur. On calcule alors le temps mis à parcourir chaque intervalle, qui est: tn= (pour l'intervalle de taille après avoir fait n divisions par 2 de la distance totale, et où V est la vitesse uniforme de la flèche). Le temps total mis pour arriver à la cible est alors la somme de tous ces temps qui sont de plus en plus courts:
T = t1 + t2 + t3 + … + tn + … = + + + … + + …
ou plutôt T=
Or, on sait que + + +… + + … vaut: - 1
soit: 1 -
Et si n tend vers + ∞ , cette expression tend évidemment vers 1. Donc le temps total T vers D/V, ce qui est ce que nous aurions trouvé tout simplement en divisant la distance totale par la vitesse.
Il s'ensuit que, théoriquement, il n'y a aucun paradoxe. Il y a un calcul à faire avec des valeurs infinies, mais cela est tout à fait normal étant donné que Zénon a fait en sorte de prendre en considération une variable qui varie de 1 à l'infini (le nombre d'intervalles parcourus). Malgré un détour fort compliqué, la théorie utilisée permet donc d'arriver au même point, et permet de retrouver une valeur qui correspond par ailleurs à celle que nous pourrions mesurer dans une expérience.
Bien sûr, on pourrait objecter que Zénon ne connaissait pas le calcul infinitésimal; mais alors, il n'avait qu'à pas utiliser une variable qui prenne des valeurs infinies, et il est inévitable qu'il n'ait pu mener son raisonnement mathématique rigoureusement jusqu'au bout.
Le paradoxe de Zénon n'est donc plus une antinomie entre la théorie et la nature; la théorie n'est nullement remise en cause par cette curiosité pour l'esprit qui est l'histoire de la flèche.
D'où vient donc cet aspect paradoxal qui demeure, bien que nous ne croyons plus aux indivisibles?
Il vient tout simplement de l'abandon à un moment donné de la réflexion théorique pour se fier au seul sens pratique. Ce passage s'opère lorsque nous avons la somme:
(1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2n)
et là, au lieu d'essayer d'en connaître la valeur exacte, et de savoir ce qu'elle donne quand n grandit infiniment, il abandonne le calcul mathématique pour se fier à son intuition et il affirme que comme il y a une somme infinie de termes dans la série, la somme est forcément infinie. Ce qui est en cause n'est pas la théorie, mais notre sens commun qui nous induit en erreur.
Pour ceux qui continueraient néanmoins de penser qu'une somme infinie de termes ne peut pas avoir de valeur finie, l'on peut proposer cette petite expérience mentale qui n'a d'ailleurs rien d'un paradoxe, pas plus que les imaginations prêtées à Zénon lorsqu'on ne croit pas aux indivisibles!
Pensons à un double décimètre gradué. Sa longueur totale est de 20 centimètres, ce qui est la somme des intervalles qu'il comprend: 20 de 1 centimètre, ou 200 de 1 millimètre de long. Cette règle étant graduée en millimètres, on peut diviser chaque millimètre par 2, pour obtenir 400 intervalles, ou encore par deux pour en avoir 800. Si on répète encore l'opération, la règle aura pour longueur la somme de la mesure de 1600 intervalles (24x100), si on répète n fois l'opération, on a 2n intervalles. Le nombre d'intervalles augmente extrêmement vite (si on le fait 100 fois, on aura: 1 672 650 600 236 milliards de milliards d'intervalles!), mais la règle n'augmente pas de longueur pour autant, et même si on le faisait une infinité de fois, la règle aurait toujours une longueur finie, et égale à 20 centimètres. Il n'y a là aucun paradoxe.
L'enseignement à tirer de tout cela est que le seul jeu des changements de variables peut faire apparaître des paradoxes dans une théorie, là où il n'y en avait pas avant. Par conséquent, il faut être extrêmement méfiant vis à vis d'un paradoxe, qui apparaîtrait à cause de la valeur d'une variable, et il faut éviter de tirer des conséquences hâtives du simple fait qu'une variable prend, à une certaine occasion une valeur extraordinaire. Il est vrai que les deux valeurs les plus remarquables que puissent prendre une grandeur sont 0 et l'infini (plus ou moins), et d'ailleurs, tout mathématicien sait que l'infiniment grand, comme l'infiniment petit demandent toujours à être traités avec précautions. C'est pourquoi le physicien prend toujours garde que ces valeurs ne soient atteintes par leurs variables que dans des cas très particulier, ou bien s'en approchant infiniment sans jamais pouvoir les atteindre. Cela étant fait en sachant que de toute manière, les valeurs attribuées à une grandeur physique sont d'ordre purement conventionnelles, puisque n'importe quel changement de variable pourrait permettre d'obtenir tout autre chose.
Une fort bonne illustration de ces possibilités de changements de variables peut être trouvée avec les différentes échelles de température. Celcius avait pris le 0 pour le point de température de la glace fondante, ce qui est un point remarquable, certes, mais un parmi tant d'autres possibles. Or, la physique a découvert ensuite qu'il y avait une limite inférieure à la température, limite de laquelle on pouvait se rapprocher indéfiniment, mais sans pouvoir l'atteindre. Dans l'échelle de Celsius, celle-ci se trouve à la valeur -273 ce qui est un nombre qui n'a en lui-même rien de remarquable. Or, l'échelle choisie pour une grandeur physique ayant, comme toute théorie, la fonction de rendre compte le plus simplement et le plus explicitement possible du réel, il était bon que cette limite inférieure de température apparaisse, soit comme - ∞ , soit comme 0. La valeur de - ∞ aurait été celle qui aurait le mieux explicité cette incapacité où nous sommes de l'atteindre, mais il aurait fallu fixer un 0 quelque part, alors qu'aucune autre température n'a de particularité physique générale telle qu'on puisse lui attribuer la valeur 0. Par ailleurs, nous n'avons pas, parmi toutes les températures possibles de distinction permettant de justifier que certaines soient considérées comme positives, et d'autres comme négatives, et puis enfin, il aurait fallu prendre une échelle logarithmique pour qu'une valeur finie (273) devienne infinie, bouleversant toutes les habitudes que nous avions jusque là d'une échelle à pas égaux comme l'échelle centigrade, facilement utilisable dans les calculs physiques.
A l'opposé, comme contre exemple, on pourrait citer la vitesse "c" de la lumière qui semble être une limite infranchissable, et qui est pourtant une valeur qui n'a rien de particulier dans nos échelles théoriques. L'explication est que les échelles de vitesse dépendent de la définition des échelles de distances et de temps qui sont elles-mêmes déterminées d'une manière satisfaisante et qui deviendraient absurdes si on voulait donner la valeur infinie à la vitesse de la lumière. (Ce serait d'ailleurs injustifiable du fait que la vitesse de la lumière est effectivement atteinte par les particules sans masse, et que l'on peut, au moins théoriquement, imaginer une vitesse vraiment infinie, ce qui semble être plus qu'une imagination théorique, d'après ce que nous fait apparaître le paradoxe E.P.R.)
Quant à l'échelle logarithmique, elle n'est pas exclue a-priori en physique, on la rencontre même, en particulier dans le Bel (1 Bel= logP, P étant la puissance acoustique) que l'on utilise en général par son dixième: le décibel (dB). Mais là, la raison en est que l'oreille humaine a une sensibilité logarithmique à l'amplitude des sons, (deux violons jouant à l'unisson ne nous semblent pas jouer deux fois plus fort, mais seulement un petit peu plus fort qu'un seul) et encore une fois, il s'agit de trouver une échelle de grandeur qui puisse rendre compte au mieux de la réalité, ou plutôt de l'expérience (ici, l'intensité des sons telle qu'elle apparaît à l'homme.)
